次元とかたち

〈ちと小難しいお話ですが、知覚し得ない高次元のことが探求されている事実が、私には面白いのです。〉

 

ご愛読、ありがとうございます。木の家づくり・暮らしのプロデューサー、山口です。

 

今日は少し、このところ私が想像して愉しんでいる「図形」のお話を書いてみようと思います。数学・物理学・図学の話なので、ご興味ない方はスルーでお願いいたします。

 

皆さんは「4次元空間」に関心はおありですか?私などは、子供の頃にテレビ番組で出てきた用語として、ずっと頭に残っています。例えばウルトラセブンは4次元空間から来た宇宙人とよく戦っていましたね。

 

大人になってからは、そんな用語は頭の中から追い出されてしまっていました。でも一昨年のこと、このブログにも書いた現代理論物理学の最先端の書『ワープする宇宙』を読んで大いに衝撃を受けました。

 

なにせ、物理学の最先端では、4次元空間と「時間」とを合わせた「5次元時空」が探求されているのですから。そして最近それに関連して、その4次元空間に存在する「かたち」に興味津々になっています。

 

ここで「次元」というものをもう一度整理してみましょう。それを説明するとこうなります。「もののあり方、その状態をいくつかの変数で記述するとき、その変数の数を次元という。」ちと小難しいですね。

 

即ち、変数0である0次元の図形はひとつしかなく、それは「点」です。変数1である1次元の図形は、1方向にしか変わり得ないもの、「線」です。同様に2次元とはX軸とY軸をもつ「平面」となります。

 

2次元の図形とは、平面上の図形のこと。次元がひとつ増えるだけで、図形の可能性は一気に広がります。そしてもうひとつのZ軸を加えた「立体」が、私たちが住む世界である3次元の図形というわけですね。

 

ここである「線分」と「正方形」と「立方体(正六面体)」について考えてみましょう。1次元図形である線分とは長さに限りのある直線ですから、その両端部には2つの0次元図形「点」があります。

 

次に正方形には、辺を4つもっています。その4つは同じ長さの「線分」ですね。即ち正方形の端部には1次元図形が4つある。同様に3次元図形である立方体の端部(境界)は、6つの2次元図形である正方形。

 

ここまで書いて、ある法則があるのにお気づきでしょうか。「ある次元の図形では、ひとつ下位の次元が境界になっていて、その数が次元が上がることに2つずつ増える」という決まりが見いだせますね。

 

ここで、私たちが実際には知覚し得ない4次元空間、その中にある4次元図形にも、その法則に沿った図形があるという推測が成り立ちます。即ち4次元空間には「8つの立方体がその境界となる図形がある」。

 

これが「正八胞体」や「超立方体」と呼ばれている図形です。この図形についての知見を私が初めて見たのはYou Tube上でしたが、そうしたものが学問上探求されていることに非常な知的興奮を覚えたものです。

 

そして実は、この正八胞体は4次元的に感知することは不可能でも、それをなんとなく体感することは出来るという。これがまたびっくりですが、実は冒頭の写真がそれ。実際にはこれは動画で見るべきですが。

 

3次元図形の立方体を2次元の平面上に投影して描く、平たく言えば紙の上に立方体を描くことは出来ますね。私たちは3次元空間に住んでいるので3次元の立方体もわかるし、2次元上でもそれを理解できます。

 

それと同様に、4次元図形である正八胞体も、3次元空間上に投影することは可能である、という理屈が成り立ちます。その「ある場合の投影」が冒頭の写真のように見える、というわけですね。

 

と言ってもこれ、8つの立方体で囲まれた立体にはとても見えません。動画を見ても同じですが、それは「投影図」の故らしい。考えてみれば2次元平面上に描いた立方体も、絵の上では正方形では描かれない。

 

絵ではピラミッドを切ったような6つの立体、中央の立方体、そして全体の立方体の8つが、4次元空間では等価な位置関係にあるのだという。しかしそれを私たちが具体的にイメージすることは不可能なんです。

 

すいません、今日は書けば書くほど難しくなっていくような気がします。しかし人間がイメージ出来ない高次の次元の図形でも、低次の次元の図形から抽出された法則を使って「えがく」ことは出来得る。

 

そのことに私などは一種の感動を覚えますし、人間の探究心というのは凄いな、とも思うのです。You Tube上には色んな4次元図形の動画があるので、ご興味おありの方はのぞいてみてくださいませ。

 

※わからん話を長々と申し訳ありません。詳細な解説はこちらのページがわかりやすいです。


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です